起始位置 θ=0，有三道題可選：最接近這個位置的 A，還是鑑別參數較大的 B？Day 19 的題目資訊量讓這個選擇可以計算。今天示範電腦化適性測驗（CAT）的第一題選擇、一次作答後的估計更新，以及第二題選擇。完整系統還要處理題庫校準、內容、曝光與停止條件，不能從這幾步就宣稱已建成。

本篇沿用 ENGAGE-v1 題意，設計教學用的二分題庫例子；A、B、C 是本例的題目代號，參數是供手算使用的指定值，並非本輪校準得到的估計結果。它們也不表示原本五點題可以直接不經處理地套入二分模型。

一個 CAT 至少有六個元件

校準題庫 → 起始規則 → 選題規則 → 作答
                         ↓          |
                    內容／曝光 ← 更新 θ
                         ↓
                      停止規則

圖的用途是避免把「選下一題」當成完整系統。它不能證明題庫（item bank）已校準，也不能評估真實學生的測驗體驗。

六層責任

完整例題：三題的第一步

假設起始 θ=0，題庫有三個二分題目（item）：

依 2PL information，B 在目前位置最大，因此先選 B。表格的計算可由 Day 19 公式重做；它只展示 statistical criterion，沒有放內容與曝光限制。

假設作答為 1。為避免第一次全對造成 maximum-likelihood estimate 往極端跑，我用一個教學用粗糙 EAP grid：θ 只取 -1,0,1，先驗權重暫設相同。B 在三點的 success probabilities 約 .095,.321,.679，乘相同 prior（先驗分布）後正規化為約 .087,.293,.620，posterior mean（後驗分布）約 0.533。這不是正式 CAT 精度，只讓更新步驟可手算。

接著在 θ=.533 重算未作答 A、C 的 information。A 在中心附近仍約 .233，C 因位置遠離 b 而更低，所以選 A。若 A 作答 0，posterior 會往下調；系統不是把第一次成功永久鎖成高能力。

停止規則也需先定義。教學例可設「至少 3 題且 posterior SD 小於某門檻」；真實用途要由可接受誤差、題庫大小、內容涵蓋與測驗時間共同決定。只用 fixed length，可能對某些 θ 太精確、另一些不足；只用 precision，又可能造成長度差異與題庫曝光。

Claude 協作：讓它輸出 trace，不只答案

請 Claude 從題目表選題時，只回答 B 還不足以驗收。每步應列出目前 θ、可選題目、內容限制、各題資訊量、選題、反應、更新方法、新估計、不確定性與停止判定。教師才能逐列重算，分辨它是依規則選題，還是只猜中了答案。本篇表格先展示第一步，未填出的後續欄位仍屬設計要求。

粗格點更新有一個適合手算的錯誤案例：直接平均三個反應機率，卻沒有先把先驗乘以反應概似，再正規化成後驗權重。上面的 .087,.293,.620 應加總為 1，然後與 θ 格點相乘才能求後驗平均。這裡展示驗算方法；原稿未附模型對話，不能將這個錯誤當成本輪實測紀錄。

反例：最大 information 把內容吃掉

若 BE 題在 θ=0 周圍普遍比 EE、CE 題 information 高，純 max-information CAT 可能連續選 BE，最後精確估到一個內容偏窄的 engagement。加入 content balancing 後，選題不再只由 information 排名；eligible pool 先受構念配額與先前作答限制。

另一個 failure case（失敗案例）是題目曝光。每位作答者在相近 θ 都看到同一高資訊題，題目很快外洩，也會破壞安全與校準。隨機化、曝光上限或 shadow testing 等方法可處理，但超出本篇實作。文章只把它列為真實部署不可省略的層。

第三個反例是用同一批適性資料不加選題機制就重新校準。因作答反應（response）的觀察取決於先前選題，missing-by-design 需要在模型與估計中正確處理；不能把未作答都當 0。

起始與停止也會改變受測經驗

起始 θ 固定為 0 很簡單，但對極端位置的作答者，前幾題可能太難或太易；使用 routing 題目、背景 prior 或多階段設計，則引入新的公平與隱私問題。背景資料若與敏感群體高度相關，不能只因提升效率就放入 prior。起始規則要能向使用者說明，也要測試不同群體的影響。

停止門檻同樣不是純技術值。若 posterior SD 低於 .30 才停，需說明此精度如何連到分數用途（score use）；若題庫某 θ 區域資訊不足，演算法可能一直出題仍無法達標。系統應有 maximum length 與「未達 precision」狀態，不能在上限時假裝正常完成。

逐步紀錄還需設計三種失敗輸出：no-eligible-item、max-length-without-precision、estimate-at-boundary，分別表示無題可選、已達題數上限但精度不足、估計碰到邊界。這些狀態目前是介面規格，沒有在本文跑出完整測試軌跡。真正實作時，也要決定如何向教師與受測者說明，避免將系統限制誤說成個人缺陷。

用固定 bank 做重現，而不是宣稱效益

教學模擬會固定 item-bank version、seed（隨機種子）、θ grid、作答反應生成器、selection rule、estimator（估計方法）與 stop rule。它也保存每位合成作答者的 trace（執行軌跡）。比較 fixed form 與 CAT 時，至少看 bias、RMSE、coverage、length distribution、content coverage 與 exposure；只報平均少幾題，可能掩蓋極端 θ 或群體的失敗。

即使模擬顯示 CAT 在生成模型下較省題，也只能標為 simulation observed。真實題目會有內容、動機、速度、學習與安全問題，模型（model） parameters 也非已知真值。模擬是系統驗收探針，不是部署效益證明。

最後，CAT 的每一步都要可稽核：為何這題 eligible、為何被選、估計如何更新、何時停止。若商用系統只回傳最後 θ，教師無法判斷內容失衡或參數版本錯置。適性不應成為不可檢查的同義詞。

CAT 與客製化教科書的相似和差異

兩者都依目前狀態選下一個資訊單元，但教科書不能把題目資訊量（item information）公式直接套成閱讀推薦。教師學習的目標多維、先備會改變，文章也有內容依賴；所以本系列只借用「狀態—選擇—更新—停止」結構，不聲稱建立了教育 CAT。

原問題的答案是：題目資訊量能支援局部選題，但完整 CAT 還要管理估計、內容、曝光與停止。發展閱讀是 Lord 的 tailored testing 與 mirt（R 的試題反應理論套件）；前沿閱讀可進 shadow testing、online calibration、multidimensional CAT 與 fairness（公平性）。

本篇實際算到：在 θ=0 選 B、收到反應 1 後得到粗格點後驗平均約 .533，再選 A。尚未給定 A 的實際反應、完成第三題或計算停止判定，所以這不是完整的三題 CAT 紀錄。下一篇會把這些公式拆成符號、邏輯、數值三層，檢查流暢解釋是否真的支持計算。

來源與協作揭露

• Lord, F. M. (1968). Some Test Theory for Tailored Testing，item selection 與 scoring rules。
• Chalmers, R. P. (2012). mirt。